定理

     在数学里，定理是指在既有命题的基础上证明出来的命题，这些既有命题可以是别的定理，或者广为接受的陈述，比如公理      数学定理的证明即是在形式系统下就该定理命题而作的一个推论过程      定理的证明通常被诠释为对其真实性的验证      由此可见，定理的概念基本上是演绎的，有别于其他需要用实验证据来支持的科学理论      有许多数学定理都是条件句，此时定理的证明是从假设出发，推出结论      因为证明跟真实性往往被连系起来，所以结论也常被视作是假设的必然结果      也就是说，假设成立的话，结论也成立，毋需加上额外条件      但要指出的是，条件句式在不同的形式系统下可以有着不同的诠释，视乎如何对当中的推理规则和蕴含符号作解读      虽然定理可在命题逻辑的框架下完全用符号写成，但它们还是多数用自然语言（例如汉语）表达      证明亦然，也是以有逻辑和有组织的方式，用含意清晰的文字陈述出一个（非正式的）论证，使得读者能够理解并跟随整个证明的脉胳，以至最终对命题真确性的信服      如有必要的话，也可从原本文字重构出（正式的）符号形式的论证      文字形式的论证显然要比纯符号方便人们阅读—而事实上，数学家往往也偏好某些证明，它们除了显示命题为真之外，更是从某种角度解释了为何命题必须为真      有时候，一张图的勾勒就足以证明一个定理      因为定理及其证明是处于数学的核心，它们很大程度上也是数学之美的体现      定理有时被描述为”平凡” 、” 困难”，或者” 深入” ，而更甚是” 美丽”      这些主观判断不只因人而异，且随着时间推移也可能有变：就例如，由于证明被简化或变得更易懂，本来显得困难的原命题也变成平凡的了      另一方面，一个深邃的定理可以被简单地表述，但其证明可以揭示出数学领域间叫人惊奇，而又微妙的隐秘关系      费马最後定理正是如此的一个典型例子      1、通过真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，经过受逻辑限制的演绎推导，证明为正确的结论的命题或公式，例如“平行四边形的对边相等”就是平面几何中的一个定理      2、一般来说，在数学中，只有重要或有趣的陈述才叫定理，证明定理是数学的中心活动      相信为真但未被证明的数学叙述为猜想，当它被证明为真后便是定理      它是定理的来源，但并非唯一来源      一个从其他定理引伸出来的数学叙述，可以不经过证明成为猜想的过程，成为定理      如上所述，定理需要某些逻辑框架，继而形成一套公理（公理系统）      同时，一个推理的过程，容许从公理中引出新定理和其他之前发现的定理      在命题逻辑中，所有已证明的叙述都称为定理      经过长期实践后公认为正确的命题叫做公理      用推理的方法判断为真的命题叫做定理      定理一般都有假定——即一些条件      然后它有结论——一个在条件下成立的数学叙述      通常写作「若条件，则结论」      用符号逻辑来写就是条件→结论      而当中的证明不视为定理的成分      若存在某叙述为A→B，其逆叙述就是B→A      叙述和逆叙述均成立的情况是A↔B      某叙述成立，不代表其原叙述一定成立      一旦我们这样错误地认为，那就是犯了肯定後件（affirming the consequent）的谬误，也称作倒因为果      其形式为：P→Q、Q；因此，P      若果叙述是定理，其成立的逆叙述就是逆定理      若某叙述和其逆叙述都为真，称A是B的必要且充分条件，简称充要条件      若某叙述为真，其逆叙述为假，条件充足      若某叙述为假，其逆叙述为真，条件必要      定理是建立在公理和假设基础上，经过严格的推理和证明得到的，它能描述事物之间内在关系，定理具有内在的严密性，不能存在逻辑矛盾      比如：勾股定理，隐含公理是平直的欧几里得空间，假设是直角三角形      要明白定理的来源，首先我们必须了解公理，公理是不证自明的真理，是建立科学的基础，欧几里得《几何原本》就是建立在五条公理基础上严密的逻辑体系      公理和定理的区别主要在于：公理的正确性不需要用逻辑推理来证明，而定理的正确性需要逻辑推理来证明      在物理学中而定理是通过数学工具（如微积分）推理得来的，如动能定理；定律是由实验得出或验证的，如机械能守恒定律      原理与定理极其近似但又稍有区别，原理只要求用自然语言表达（当然并不排除数学表达），定理则着重于反映原理的数学性      因此，在表达时一定要用数学式来阐明，如“帕斯卡原理”：在密闭容器内，液体向各个方向传递的压强相等